[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Wymaga się takiego dowodu (który może być przeprowadzony wieloma metodami), ponieważ logika matematyczna pokazuje, że z każdej sprzeczności wyprowadzalne jest każde zdanie danej dziedziny; w takim wypadku nie byłoby żadnej różnicy między uznanymi (prawdziwymi) a nieuznanymi (fałszywymi) zdaniami, a to zniszczyłoby każdą naukę.(2) Do drugiej grupy należą wymagania zupełności [Vollständigkeit] systemu i wzajemnej niezależności aksjomatów.System nazywa się “zupełnym”, gdy z jego aksjomatów dadzą się wyprowadzić wszystkie zdania prawdziwe do niego należące.Aksjomaty są niezależne wtedy, gdy z żadnego z nich nie da się wyprowadzić inny.Postulat ten ma pewien rys estetyczny.Faktycznie też w dzisiejszej aksjomatyce racje estetyczne wydają się odgrywać większą rolę niż dawniej.Próbuje się np.znaleźć możliwie najmniejszą liczbę aksjomatów, a nawet tylko jeden, z którego dałyby się wyprowadzić wszystkie odpowiadające mu zdania, przy czym chce się go ukształtować możliwie najprościej.Ta estetyzująca tendencja idzie dzisiaj aż tak daleko, że ze względu na prostotę preferuje się mniej oczywisty aksjomat przed wieloma oczywistymi.Nie wymieniliśmy tutaj jeszcze jednego wymagania, o którym wspomnieliśmy już poprzednio, a mianowicie ścisłej formalizacji.Jednakże wymaganie to jest ściśle przestrzegane tylko przez logików matematycznych, matematycy postępują zwykle o wiele swobodniej i często posługują się intuicją.System konstytucyjny.Współczesny system aksjomatyczny zawiera nie tylko aksjomaty, reguły wnioskowania i zdania wyprowadzone, lecz także - i przede wszystkim - tak zwany system konstytucyjny [Konstitutionssystem], który może być uznany za aksjomatyczny system wyrażeń.Jest on zbudowany całkowicie analogicznie do aksjomatycznego systemu zdań, tak jak ten ostatni zawiera również trzy rodzaje elementów i jest konstruowany w następujący sposób.Najpierw określona zostaje klasa wyrażeń, które mają funkcjonować jako wyrażenia pierwotne.Przyjmuje się je do systemu bez definicji.Do tego dołącza się reguły, według których do systemu można wprowadzić nowe wyrażenia atomowe (reguły definiowania) i tworzyć wyrażenia złożone (reguły formowania).Wykorzystując te reguły definiuje się nowe wyrażenia za pomocą wyrażeń pierwotnych albo tworzy się nowe wyrażenia z pierwotnych.W trakcie każdego kroku zostaje dokładnie podane, które wyrażenia pierwotne i reguły były użyte.Na podstawie tak zdefiniowanych wyrażeń (względnie utworzonych przez złożenie) wprowadza się znowu (przy użyciu albo bez użycia wyrażeń pierwotnych) nowe wyrażenia.Postępuje się w ten sposób tak długo, jak to jest konieczne.Cały ten proces przebiega dokładnie równolegle do procesu, w którym tworzy się system zdań.Jest jednak jasne, że system konstytucyjny leży u podstaw systemu zdań, gdyż zanim można określić, które zdania mają obowiązywać, trzeba już wiedzieć, które wyrażenia są obowiązujące.Ale to właśnie jest zdeterminowane przez reguły systemu konstytucyjnego.Dokładnie biorąc, reguły te są trojakiego rodzaju:1.Reguła, która określa, jakie wyrażenia przyjmowane są jako pierwotne.2.Reguły definiowania, które określają, w jaki sposób można wprowadzić nowe wyrażenia atomowe.3.Reguły formowania, według których z już zawartych w systemie wyrażeń wolno tworzyć dalsze (molekularne) wyrażenia.Ostatnie z wymienionych reguł zostały już omówione w paragrafie poświęconym syntaksie.Reguła pierwszego rodzaju nie potrzebuje specjalnych rozważań, natomiast stosowne byłoby teraz omówienie różnych rodzajów definicji.Ponieważ łączą się one ściśle z metodologicznie ważnymi problemami naukowego tworzenia pojęć, omówimy je w specjalnym paragrafie.Dedukcja progresywna i regresywna.Patrząc z zewnątrz, konstrukcja sformalizowanego systemu aksjomatycznego wydaje się zawsze progresywna, tzn.że najpierw ustanawia się zasady.(aksjomaty i reguły), potem zaś, w oparciu o nie, dokonuje się wnioskowania.Jednak w rzeczywistości nie każda dedukcja jest progresywna, lecz należy odróżnić dwa rodzaje wnioskowania dedukcyjnego: dedukcję progresywną i regresywną.Obie są rzetelnymi dedukcjami, tzn.że prawdziwość przesłanek jest już znana, natomiast dopiero szuka się prawdziwości wniosków.Można jednak, niezależnie od tego, wyjść albo od już ustalonych przesłanek, albo od wniosku, który ma być właśnie dowiedziony.Dowody Euklidesa są przykładem dedukcji regresywnej: najpierw formułuje się zdanie, które ma być dowiedzione, potem wprowadza się konieczne dla dowodu, wcześniej już uznane, prawa.W przeciwieństwie do tego zwykłe liczenie jest w większości wypadków przeprowadzane w formie progresywnej: ostateczny wniosek formułuje się dopiero na końcu.Jeżeli się zapytamy, która z tych dwóch rodzajów dedukcji występuje częściej w praktyce naukowej, to okaże się, że w większości wypadków najpierw formułuje się wnioski, a dopiero potem szuka się dla nich uzasadnienia, tzn.że postępuje się regresywnie.Dobrze znany jest np.fakt, że wielkie odkrycia matematyczne dochodziły do skutku właśnie w ten sposób: odkrywca najpierw formułował twierdzenie, którego dowód przeprowadzał dopiero o wiele później, chociaż na podstawie dawno już znanych przesłanek [ Pobierz całość w formacie PDF ]