[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.52) i (5.53).5.3.8.Ruch płaski bryłyPrędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryłyRuchempłaskim nazywamy taki ruch, w którym tory wszystkich punktów bryły są równoległe dopewnej płaszczyzny nazywanej płaszczyzną ruchu.Zapłaszczyznę ruchu można przyjąć dowolną płaszczyznę spośród wszystkich płaszczyzn do niejrównoległych.W punkcie 5.3.6 powiedziano, że jeżeli aksoidy są powierzchniami walcowymi, to ruch ogólnybryły sprowadza się do ruchu płaskiego.I rzeczywiście, każda płaszczyzna prostopadła do tworzących obu aksoid może być płaszczyzną ruchu.Ponieważ aksoidy są powierzchniami zakreślonymi przezchwilową oś obrotu w czasie przemieszczania się jej w układzie nieruchomym i ruchomym, jestoczywiste, że chwilowa oś obrotu w ruchu płaskim będzie w każdej chwili prostopadła do płaszczyzny ruchu.Z definicji ruchu płaskiego wynika, że wektory prędkości i przyśpieszenia wszystkich punktówbryły są również równoległe do płaszczyzny ruchu.Z kolei wektor prędkości kątowej ω będzie w każdej chwili równoległy do tworzących aksoid (równoległy do chwilowej osi obrotu), czyliprostopadły do płaszczyzny ruchu.W dalszych rozważaniach dotyczących ruchuyy′płaskiego za płaszczyznę ruchu przyjmiemyx′płaszczyznę wyznaczoną przez nieruchomy układwspółrzędnych x, y o początku w punkcie O.Ruchomyϕukład współrzędnych o osiach x′, y′O′i początku w dowolnym biegunie O′ będzie sięr′rO′poruszał w płaszczyźnie ruchu (rys.5.16).W tejMsytuacji osie z i zr′ będą równoległe do wektoraprędkości kątowej ω.Z rysunku 5.16 wynika, że do jednoznacznegoOokreślenia położenia bryły względem układuxnieruchomego x, y należy podać wektor wodzącyRys.5.16.Ruch płaski bryły sztywnejr = rt bieguna O′ oraz kąt obrotu ϕ = ϕ(t)O′O′ ( )układu ruchomego x′, y′ względem nieruchomego.Wektor wodzący r możemy zapisać wO′następujący sposób:r = rtxy j.(5.56)O ( ) =i+O′′O′O′Zatem kinematyczne równania ruchu płaskiego możemy zapisać w postaci trzech funkcjialgebraicznych: dwóch współrzędnych wektora r oraz kąta ϕ:O′x= x,=′′ (t)yy′′ (t ,(5.57)OOOO)ϕ = ϕ(t).(5.58)Do obliczenia prędkości v i przyśpieszenia a dowolnego punktu M bryły wykorzystamy wzory (5.32) i (5.34):v = v, (5.59)O′ + ω× r′a = a− ω2 r′.(5.59a)O′ + ε× r′+ ω(ω⋅ r′)Ponieważ w ruchu płaskim wektory ω i r′ są prostopadłe, zatem ich iloczyn skalarny występujący we wzorze (5.59a) jest równy zeru ( ⋅ω r′ = 0), a więc wzór ten uprości się do postaci:a = a− ω2 r′.(5.60)O′ + ε× r′We wzorach (5.59) i (5.60) prędkość v i przyśpieszenie a początku O′ układu ruchomego O′O′otrzymamy, obliczając odpowiednio pierwsze i drugie pochodne wektora wodzącego r względem O′czasu:d rdxdyvO′O′==i+O′ j , (5.61)O′dtdtdtd r 2dx2dy2aO′O′==i+O′ j.(5.62)O′dt 2dt 2dtPrędkość kątową ω i przyśpieszenie kątowe ε można zapisać analogicznie jakw ruchu obrotowym (wzór 5.37):ω = ω k′oraz ε = ε k′′= εk.(5.63)z′= ωkzModuły tych przyśpieszeń, podobnie jak w ruchu obrotowym (5.63), będą również odpowiednimipochodnymi kąta obrotu ϕ względem czasu:2dϕdωd ϕω =,ε==.(5.64)2dtdtdtZe wzorów (5.63) wynika, że prędkość kątowa ω i przyśpieszenie kątowe ε są wektorami oznanym kierunku.W tej sytuacji można je uważać za skalary, podobnie jak w statyce moment siływzględem osi i moment płaskiego układu sił.Ze wzorów (5.59) i (5.60) na prędkość v i przyśpieszenie a można wyciągnąć następujące wnioski: a) Prędkość dowolnego punktu bryły w ruchu płaskim jest sumą prędkości postępowej vO′dowolnego bieguna O′ i prędkości wynikającej z chwilowego obrotu bryły wokół tego bieguna:ω× r′ [ Pobierz całość w formacie PDF ]